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Formalisme mathématique

Mon père m’a toujours dit : « La réussite, c’est 90 % de sueurs et 10 % d’intelligence ».  Pour comprendre la physique, il n’y a pas de trucs, il faut travailler.  Le physicien, comme le coureur de marathon, doit se pratiquer pour s’améliorer. 

Il arrive souvent cependant que l’on travaille et que cela ne mène à rien.  En science, cette situation peut arriver plus souvent qu’autrement.   Ceci peut être dû à plusieurs raisons.   L’une des raisons majeures semble être l’utilisation de mauvais outils.  Comme le menuisier qui tenterait de clouer avec un tournevis, il arrive qu’on essaie de comprendre une réalité physique avec la mauvaise théorie ou une mauvaise interprétation de celle-ci.  Le principal outil du physicien, c’est les mathématiques.

Le but de cet article est de vous donner (ou vous rappeler) les bases nécessaires pour la compréhension d’articles ultérieurs.  Ces bases sont appelées propriétés.

+ : c’est l’addition habituelle

x : c’est la multiplication habituelle

2,3,…,n : Ce sont les exposants.  Les exposants signifient qu’il faut multiplier le chiffre (ou la parenthèse) par lui-même autant de fois que l’exposant le spécifie.  L’exposant ½ veut dire la racine carrée du chiffre (ou de la parenthèse)

Ex : 32 = 3 x 3 = 9          33 = 3 x 3 x 3 = 27            41/2 = 2 (car 2 x 2 = 4)

 

 

 

1- Priorité

 

Il faut toujours donner priorité à l’ordre suivant : on effectue les opérations entre parenthèses en premier, ensuite les opérations de multiplication et de division et, finalement, les opérations d’addition et de soustraction.

 

Ex:

5 x 6 + 42 – 2 x (5 x 3 + 9)

 

= 5 x 6 + 42 – 2 x ((5 x 3 = 15) + 9 = 24)

 

= (5 x 6 = 30) + 42 – (2 x (24) = 48)

 

= (30) + (4 x 4) – (48) = 30 + (16) – 48 = 2

 

2- Commutativité 

 

Si A et B sont 2 nombres réels,

 

A + B = B + A et A x B = B x A

 

 

Ex:

2 + 3 = 3 + 2 = 5

 

3- Associativité

 

Si A, B et C sont 3 nombres réels,

 

(A + B) + C = A + (B + C)

 

(A x B) x C = A x (B x C)

 

 

Ex:

(6 x 7) x 19 = 6 x (7 x 19) = 798

 

4- Distributivité

 

Si A, B et C sont 3 nombres réels,

 

A x (B + C) = A x B + A x C

 

 

Ex:

5 x (10 + 20) = 5 x 10 + 5 x 20 = 50 + 100 = 150

 

5- Existence d’éléments neutres

 

Si A est un nombre réel,

 

A + 0 = A

 

A x 1 = A

 

6- Existence de l’inverse additif et multiplicatif

 

Si A est un nombre réel,

 

A + (-A) = 0

 

A x (1 / A) = 1

 

 

Ex:

4 x (1 / 4) = 1

 

7- Transitivité

 

Si A, B et C sont 3 nombres réels et que,

 

A = B et B = C alors A = C

 

 

Ex:

11 + 1 = 12 et 12 = 2 x 6 alors 11 + 1 = 2 x 6



Il semble trivial (ou niaiseux) de définir de telles opérations, mais il est capital de toujours les avoir en tête.  Ces opérations nous permettent d’isoler ce que l’on recherche dans une équation.  On peut ainsi isoler une variable.

 

 

Ex 1

Prenons l’équation de Drake et remplaçons chacune des variables (dans l’ordre) de l’équation de Drake par une lettre.

 


Ainsi,

A = B x C x D x E x F x G x H

Ici, A = le nombre de civilisations techniquement avancées dans notre galaxie = la variable isolée = la variable que l’on évalue.

Si nous voulons évaluer, par exemple, D = [le nombre de planètes appropriées (climat, distance, etc.) pour l’apparition de la vie que possèdent ces systèmes planétaires], nous n’avons qu’à l’isoler à son tour

Alors,

D = A / ( B x C x E x F x G x H )

On peut maintenant voir pourquoi on ne peut pas évaluer l’équation de Drake : il y a trop de valeurs inconnues.

En langage mathématique, on dit que nous avons une équation à 8 inconnues.

L’une des solutions pour l’équation de Drake serait d’avoir une estimation pour B, C, D, E et F.  Ainsi on aurait la valeur estimée de A.

Une autre solution serait d’avoir 8 équations différentes avec les mêmes variables.  On aurait ainsi un système de 8 équations à 8 inconnues et on pourrait trouver une solution.  Cette solution est souvent utilisée en physique.

 

 

 

Ex 2

Une personne de 80 kg se déplace sur Terre, Quelle est la force exercée par la force de gravité terrestre sur cette personne ?

 


Solution : Si

F = force exercée par la gravité terrestre = ce que nous cherchons  

m = masse de la personne = 80 kg

a = accélération produite par la Terre @ 9,8 m/s2

Alors,

F = 80 kg x 9,8 m/s2 @ 784 Newtons

Nous avons pu résoudre cette équation parce que nous avions une équation avec une inconnue.

 

 

 

Ex 3

Si on vous donne la masse de la Terre et la constante gravitationnelle, quelle vitesse doit avoir un satellite de 2 tonnes situé à 400 km d’altitude pour se maintenir en orbite sans pour autant partir dans l’espace ?

 

 

Solution : Si nous posons,

v = vitesse = ce qu’on cherche

Mt = La masse de la Terre @ 5,98 x 1024 kg

Rt = Rayon de la Terre = inconnu

m = Masse du satellite = 2000 kg

G = La constante gravitationnelle = 6,67 x 10–11 Newton m2 / kg2.

Effet centrifuge - Force gravitationnelle = 0, puisque le satellite est géostationnaire

[m v2/ (Rt + hauteur satellite)]   -    [G Mt m / Rt2] = 0

Isolons la vitesse

m v2/ (Rt + hauteur satellite))  =   (G Mt m / Rt2)

m v2   =   (G Mt m / Rt2) x (Rt + hauteur satellite)

v2   =   (G Mt m / Rt2) x (Rt + hauteur satellite) / m

v   =   [(G Mt m / Rt2) x (Rt + hauteur satellite) / m] 1/2

v = (7.98 x 1017 / Rt2) x (Rt + 400 000) / 2000 )1/2  

Le problème, c’est que nous n’avons pas le rayon de la Terre.  Nous avons une équation et 2 inconnues.  Il nous faut une autre équation.

Je peux calculer le rayon de la Terre en me prenant comme exemple.  Si je pèse 90 kg et subit une accélération de 9,8 m/s2 sur Terre, alors je peux calculer son rayon approximatif.

F = m a = 90 kg x 9,8 = 882 Newtons

Deuxième équation :

882 Newtons = G Mt m / Rt2

882 = 6,67 x 10-11 x 5,98 x 1024 x 90 / Rt2  

Rt = (4,07 x 1013)1/2 @ 6,38 x 106 m

Ainsi, nous pouvons trouver la vitesse que l’on cherchait :

v = (7.98 x 1017 / Rt2) x (Rt + 400 000) / 2000 )1/2

v @ 8152,3 m/s @ 29 348 km/h

 


Comme vous l’avez vu, même si les bases des mathématiques sont simples, on peut les utiliser pour résoudre des problèmes qui semblent très compliqués.  Dans ce dernier exemple, on utilise quelques formules préétablies, mais on les adaptent à notre problème avec les relations de bases (commutativité, distributivité, etc.) que nous avons décrites.

Dans les futurs articles de cette section, nous n’utiliserons aucune autre propriété que celles mentionnées ici.

Commentaires ? Suggestions ? Infarctus ?  Écrivez-les moi à svilleneuve@cegep-chicoutimi.qc.ca


Références

LABELLE, J. et MERCIER, A., « Introduction à l’analyse réelle », Édition Modulo, 1993, p.1-2.

KITTEL, C., D. KNIGHT, W. et A. RUDERMAN, M., « Mécanique, berkeley : cours de physique »,Copyright 1962, p.156-157, 160, 471-472.

http://www.planetscapes.com/solar/french/mars.htm#stats



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©2002 Simon